球的体积和表面积公式具体推导过程精编版.docx 4页

最新资料推荐 最新资料推荐 PAGE PAGE # 1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为 R,将半径OAn等分，过这些分点作平 面把半球切割成 n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近 R 似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 R ,底面 n 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： ri =、R2 TR(i T)]2 , 1,2,3,n n) 第i层“小圆片”的体积为: R=^i 一仁 r,g,2,3, n n I n J n) 半球的体积：V半径=V1 +V2+ ? ? ? + Vn 3 2 小2 R 1 、 / “ 2 、 {1+ (1——2~)+(1——2-) n n n (n -1) + ? ? ? + ： 1 - A——―1— 2 n 二R3 n 12 22 ? ? ■ (n -1)2 2 n 2 2 2 1 , 1 +2 +???+n = - n(n + 1)(2n +1))6 1 1 对 B [ Jn -1)n(2n-1)=吟1 ,(n-1)(2n-1))』3 1 一(K)n n2 6 6n2 6 当所分的层数不断增加，也就是说，当 n不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n增大，1就越来越小，当n无限大时，」趋向于0,这时，有n n V半径=2 nR3 所以，半径为 R的球的体积为： V=nR3 3 3 1..3.2球的体积和表面积(2) 球的表面积推导方法(设球的半径为R,利用球的体积公式推导类似方法) (1)分割。把球。的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1, S2,…… Sn,那么球的表面积为：S= Si + S2+……十Sn 把球心。和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成 n个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点。为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的, (好象地球一样)，这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径 Ro (2)求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为 Vi, V2,…，Vn 那么球的体积为：V = V1 + V2+…+Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点。为顶点，以点。与第i个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为hi,底面面积为 Si,于是，它的体积为: V i= —hi Si，(1 = 1,2,…,n) 3 这样就有：V产1 hi SI, (i = 1,2，…，n) 3 1 一 G V 一 (hi Si + h2 S2 +???+ hn Sn) ① 3 (3)转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小， “小锥体”就越接近于棱锥，如果